Crucial Property of the Moments of Probability Distribution.

In probability theory, there is a concept called a moment.What is a moment?
For a random variable X and a natural number n, when there is an expected value E(X^n) of X^n,
E(X^n) is called the n-th moment of X.

The importance of this concept of moment becomes clear in the following theorem:

Theorem: Suppose that random variables X, Y have moments a_n, b_n of order n for all n, and a_n = b_n. Furthermore, suppose that the characteristic functions of X, Y are real analytic. (This real analytic The concept of a target is an image of “extremely smooth”.) In this case, X = Y.

In other words, roughly speaking, a random variable is determined by its moments (of course there are preconditions).

Furthermore, the first and second moments are very important, and it is known that the central limit theorem holds when a random variable has first and second moments.

Although the concept of moment may seem simple at first glance, it is closely related to a special function (Fourier transform) of a random variable, and in probability theory, it is a very important concept when analyzing probability distributions in detail. I am.

[日本語訳]

確率論では, モーメントという概念が存在します. モーメントとは何かというと,
確率変数 X と自然数 n に対し, X^n の期待値 E(X^n) が存在する時,
その E(X^n) のことを X の n 次のモーメントと言います.

このモーメントという概念の重要さは, 次の定理で明らかになります:

定理: 確率変数 X, Y が全ての n について n 次のモーメント a_n, b_n をそれぞれ持ち, a_n = b_n であるとする. さらに, X, Y の特性関数が実解析的とする. (この実解析的という概念は,『ものすごく滑らかである』というイメージです.) この時, X = Y である.

つまり, ざっくりいうと, 確率変数はそのモーメントによって決定されるのです. (もちろん前提条件はありますが.)

また, 1次のモーメントと 2次のモーメントは非常に重要で, 確率変数が 1次, 2次のモーメントを持つ場合は, 中心極限定理が成り立つことが知られています.

このモーメントという概念は一見地味に見えますが, 確率変数の特製関数 (フーリエ変換) と密接な関係があり, 確率論の中では, 確率分布を詳細に解析する際に非常に重要な概念となっています.